تحلیل سیگنال‌ها و پاسخ سیستم‌های خطی: خاصیت مزدوج مختلط در سری فوریه - کوییز

1. شامل جملات سینوسی خالص است.
2. شامل جملات کسینوسی خالص است.
3. شامل جملات سینوسی و کسینوسی است.
4. شامل جملات سینوسی با ضریب مختلط است.

گزینه صحیح: 2

توضیح: برای یک سیگنال زوج، ضرایب سری فوریه $b_k$ (ضرایب سینوسی) صفر هستند. بنابراین، سری فوریه فقط شامل جملات کسینوسی (و یک جمله مستقیم اگر میانگین غیر صفر باشد) خواهد بود.

1. شامل جملات کسینوسی خالص است.
2. شامل جملات سینوسی خالص است.
3. شامل جملات کسینوسی با ضریب مختلط است.
4. شامل جملات ثابت و سینوسی است.

گزینه صحیح: 2

توضیح: برای یک سیگنال فرد، ضرایب سری فوریه $a_k$ (ضرایب کسینوسی و جمله مستقیم) صفر هستند. بنابراین، سری فوریه فقط شامل جملات سینوسی خواهد بود.

1. $a_{-k} = a_k$
2. $a_{-k} = -a_k$
3. $a_{-k} = a_k^*$
4. $a_{-k} = -a_k^*$

گزینه صحیح: 3

توضیح: برای یک سیگنال حقیقی، ضرایب سری فوریه $a_k$ دارای خاصیت مزدوج مختلط هستند، یعنی $a_{-k} = a_k^*$. این بدان معناست که ضرایب جملات با فرکانس منفی، مزدوج مختلط ضرایب جملات با فرکانس مثبت متناظر هستند.

1. $a_{-k} = a_k$
2. $a_{-k} = -a_k$
3. $a_{-k} = a_k^*$
4. $a_{-k} = -a_k^*$

گزینه صحیح: 3

توضیح: همانطور که در خاصیت مزدوج مختلط بیان شد، برای سیگنال حقیقی $x(t)$، ضرایب سری فوریه آن $a_k$ باید رابطه $a_{-k} = a_k^*$ را برآورده کنند.

1. $2 + 3i$
2. $2 - 3i$
3. $-2 - 3i$
4. $-2 + 3i$

گزینه صحیح: 2

توضیح: با توجه به خاصیت مزدوج مختلط ($a_{-k} = a_k^*$) برای سیگنال حقیقی، اگر $a_2 = 2 + 3i$ باشد، آنگاه $a_{-2}$ برابر با مزدوج مختلط آن یعنی $2 - 3i$ خواهد بود.

1. $a_0$ حقیقی است.
2. $a_k$ برای $k eq 0$ می تواند مختلط باشد.
3. $a_{-k} = a_k$
4. $a_{-k} = a_k^*$

گزینه صحیح: 3

توضیح: برای یک سیگنال حقیقی، $a_{-k} = a_k^*$ برقرار است، نه $a_{-k} = a_k$ مگر اینکه $a_k$ حقیقی باشد. $a_0$ همیشه حقیقی است زیرا مربوط به میانگین سیگنال است.

1. $e^{j3omega_0 t}$
2. $e^{-j3omega_0 t}$
3. $e^{j2omega_0 t}$
4. $e^{-j2omega_0 t}$

گزینه صحیح: 3

توضیح: اگر $a_3 = 1 - i$ باشد، طبق خاصیت مزدوج مختلط، $a_{-3} = (1 - i)^* = 1 + i$. این بدان معناست که جملات با فرکانس های $3omega_0$ و $-3omega_0$ وجود دارند. اطلاعاتی درباره $a_2$ یا $a_{-2}$ داده نشده است، اما سوال می پرسد کدام جمله قطعاً وجود ندارد. فرض بر این است که اگر $a_3$ غیر صفر است، ممکن است $a_2$ صفر باشد. اما اگر $a_2$ غیر صفر باشد، $a_{-2}$ نیز باید وجود داشته باشد. سوال به دنبال یک گزاره قطعی است. با توجه به اینکه $a_3$ غیر صفر است، $a_{-3}$ نیز غیر صفر است. اگر $a_2$ صفر باشد، آنگاه $a_{-2}$ نیز صفر خواهد بود. اما این یک نتیجه گیری مستقیم از $a_3$ نیست.

1. ضرایب $a_k$ و $a_{-k}$ باید برابر باشند.
2. ضرایب $a_k$ و $a_{-k}$ باید مزدوج مختلط هم باشند.
3. ضرایب $a_k$ و $a_{-k}$ باید قرینه هم باشند.
4. هیچ رابطه ای لازم نیست.

گزینه صحیح: 2

توضیح: برای اینکه مجموع جملات $a_k e^{jkomega_0 t}$ یک سیگنال حقیقی را تولید کند، ضرایب $a_k$ و $a_{-k}$ باید مزدوج مختلط یکدیگر باشند، یعنی $a_{-k} = a_k^*$. این تضمین می کند که بخش های موهومی جملات $komega_0$ و $-komega_0$ یکدیگر را خنثی کنند.

1. یک سیگنال سینوسی با فرکانس $omega_0$.
2. یک سیگنال کسینوسی با فرکانس $omega_0$.
3. یک سیگنال ثابت (DC).
4. سیگنال صفر.

گزینه صحیح: 3

توضیح: اگر $a_k = 0$ برای همه $k ge 1$ باشد، تن ها ضریب غیر صفر باقی مانده $a_0$ است. $a_0$ نشان دهنده مولفه DC یا میانگین سیگنال است. بنابراین، $x(t) = a_0$ که یک سیگنال ثابت است.

1. $c_{-k} = c_k$ و $phi_{-k} = -phi_k$
2. $c_{-k} = -c_k$ و $phi_{-k} = phi_k$
3. $c_{-k} = c_k$ و $phi_{-k} = phi_k$
4. $c_{-k} = -c_k$ و $phi_{-k} = -phi_k$

گزینه صحیح: 1

توضیح: اگر $a_k = c_k e^{jphi_k}$، آنگاه $a_k^* = c_k^* e^{-jphi_k}$. برای سیگنال حقیقی، $a_{-k} = a_k^*$. فرض بر این است که $c_k$ ها حقیقی هستند (یا می توانند به گونه ای تعریف شوند که حقیقی باشند). بنابراین $c_k^* = c_k$. پس $a_{-k} = c_k e^{-jphi_k}$. اگر $a_{-k}$ را به صورت $c_{-k} e^{jphi_{-k}}$ بنویسیم، آنگاه $c_{-k} = c_k$ و $phi_{-k} = -phi_k$ خواهد بود.