اپلیکیشن اندرویدی فلش‌کارت آموزشی رمزگشایی از نظریه اثبات: یک کتاب جامع بر اساس کتاب Basic Proof Theory

📚 کتاب آموزشی جامع

📚 اطلاعات کتاب

عنوان کتاب: کتاب رمزگشایی از نظریه اثبات: یک کتاب جامع بر اساس کتاب Basic Proof Theory

موضوع کلی: منطق و مبانی ریاضیات

موضوع میانی: نظریه اثبات

📋 سرفصل‌های کتاب (100 موضوع)

• 1. مقدمه‌ای بر منطق و مبانی ریاضیات
• 2. چیستی نظریه اثبات: اهداف و چشم‌انداز
• 3. تاریخچه مختصر نظریه اثبات
• 4. مروری بر مفاهیم اساسی استدلال و استنتاج
• 5. مقدمه‌ای بر زبان‌های صوری
• 6. منطق گزاره‌ای: الفبا و نحو (Syntax)
• 7. منطق گزاره‌ای: معناشناسی (Semantics) و توابع ارزش
• 8. جدول‌های صدق و ارزیابی گزاره‌ها
• 9. هم‌ارزی منطقی، تاتولوژی و تناقض
• 10. قضیه استنتاج برای منطق گزاره‌ای
• 11. سیستم‌های استنتاجی: معرفی کلی
• 12. استنتاج طبیعی (Natural Deduction) برای منطق گزاره‌ای: قواعد معرفی و حذف
• 13. استنتاج طبیعی: اثبات‌های ساده و درستی
• 14. سیستم حساب توالی (Sequent Calculus) برای منطق گزاره‌ای: LK_p
• 15. قواعد ساختاری در حساب توالی (Weakening, Contraction, Exchange)
• 16. اثبات در LK_p: توالی‌ها و درخت‌های اثبات
• 17. مقایسه استنتاج طبیعی و حساب توالی گزاره‌ای
• 18. درستی (Soundness) سیستم‌های گزاره‌ای
• 19. تمامیت (Completeness) سیستم‌های گزاره‌ای
• 20. قضیه فشرده‌سازی (Compactness Theorem) برای منطق گزاره‌ای
• 21. معرفی منطق مرتبه اول: نیاز به ساختار غنی‌تر
• 22. منطق مرتبه اول: الفبا، ثابت‌ها، متغیرها، توابع و محمول‌ها
• 23. منطق مرتبه اول: نحو (Syntax) اصطلاحات (Terms)
• 24. منطق مرتبه اول: نحو فرمول‌ها (Formulas)
• 25. کمیت‌سازها: ∀ (برای همه) و ∃ (وجود دارد)
• 26. متغیرهای آزاد و مقید
• 27. جایگزینی اصطلاحات و فرمول‌ها
• 28. ساختارها (Structures) و تفاسیر (Interpretations) در منطق مرتبه اول
• 29. ارزیابی فرمول‌ها در یک ساختار
• 30. صدق و اعتبار (Validity) در منطق مرتبه اول
• 31. مدل‌ها و فرمول‌های راضی‌شدنی
• 32. استنتاج طبیعی برای منطق مرتبه اول: قواعد کمیت‌سازها
• 33. اثبات در استنتاج طبیعی برای منطق مرتبه اول
• 34. سیستم حساب توالی LK برای منطق مرتبه اول
• 35. قواعد کمیت‌سازها در LK
• 36. قواعد تساوی در LK
• 37. اثبات در LK: پیچیدگی‌ها و نکات
• 38. درستی و تمامیت LK
• 39. قضیه تمامیت گودل برای منطق مرتبه اول: مقدمات
• 40. قضیه تمامیت گودل: طرح کلی اثبات
• 41. قضیه لوونهایم-اسکولم (Löwenheim-Skolem Theorem)
• 42. قضیه حذف برش (Cut Elimination Theorem) گنتسن: مقدمه‌ای تاریخی
• 43. شهود حذف برش و اهمیت آن
• 44. قضیه حذف برش برای LK_p: طرح کلی اثبات
• 45. حالت‌های حذف برش: قواعد گزاره‌ای
• 46. حالت‌های حذف برش: قواعد ساختاری
• 47. حالت‌های حذف برش: قواعد کمیت‌سازها
• 48. اثبات کامل قضیه حذف برش برای LK
• 49. ویژگی زیرفرمول (Subformula Property) به عنوان نتیجه حذف برش
• 50. سازگاری (Consistency) سیستم‌های منطقی از طریق حذف برش
• 51. تصمیم‌ناپذیری منطق مرتبه اول (به عنوان نتیجه‌ای دیگر)
• 52. قضیه نُرمال‌سازی (Normalization Theorem) برای استنتاج طبیعی
• 53. مفاهیم رِدِکس (Redex) و رِداکت (Reduct) در نرمال‌سازی
• 54. استراتژی‌های نرمال‌سازی در استنتاج طبیعی
• 55. ارتباط حذف برش و نرمال‌سازی
• 56. قضیه هربراند (Herbrand's Theorem): ایده و کاربردها
• 57. طرح اثبات قضیه هربراند
• 58. کاربردهای قضیه هربراند در اثبات خودکار
• 59. قضیه درون‌یابی کرِیگ (Craig's Interpolation Theorem)
• 60. قضیه تعریف‌پذیری بث (Beth's Definability Theorem)
• 61. منطق شهودی (Intuitionistic Logic): مبانی فلسفی و تفاوت‌ها
• 62. سیستم استنتاج طبیعی برای منطق شهودی (NJ)
• 63. سیستم حساب توالی برای منطق شهودی (LJ)
• 64. تفاوت‌های LJ با LK: قاعده نفی و طرد شق ثالث
• 65. قضیه حذف برش برای LJ
• 66. خواص LJ و اثبات‌های شهودی
• 67. معرفی نظریه‌های صوری: چرا به آن‌ها نیاز داریم؟
• 68. حساب پئانو (Peano Arithmetic - PA): اصول موضوعه
• 69. زبان PA و نحوه بیان عبارات ریاضی
• 70. قضیه عدم تمامیت اول گودل (First Incompleteness Theorem): مقدمات
• 71. قضیه عدم تمامیت اول گودل: بیان و مفاهیم اصلی
• 72. قضیه عدم تمامیت دوم گودل (Second Incompleteness Theorem)
• 73. سازگاری PA و اهمیت آن
• 74. اثبات سازگاری گنتسن برای PA: معرفی کلی و ایده
• 75. اعداد ترتیبی (Ordinal Numbers) و نقش آن‌ها در نظریه اثبات
• 76. اثبات سازگاری PA با استفاده از روش ترتیبی (یک نگاه کلی)
• 77. حساب هیتینگ (Heyting Arithmetic - HA)
• 78. رابطه بین HA و PA
• 79. نظریه مجموعه‌ها (Set Theory) به عنوان یک نظریه مرتبه اول
• 80. اصول موضوعه ZFC (Zermelo-Fraenkel with Choice)
• 81. کاربرد قضیه لوونهایم-اسکولم در نظریه مجموعه‌ها
• 82. معرفی نظریه نوع (Type Theory) و ارتباط با نظریه اثبات
• 83. مکاتبه کوری-هاوارد (Curry-Howard Correspondence): اثبات‌ها به عنوان برنامه‌ها
• 84. لامبدا کالکولوس (Lambda Calculus) و ارتباط آن با نظریه اثبات
• 85. بررسی مفاهیم برهان‌پذیری و محاسبه‌پذیری
• 86. پیچیدگی محاسباتی اثبات‌ها
• 87. نظریه پیچیدگی اثبات (Proof Complexity)
• 88. سیستم‌های حساب توالی تعمیم‌یافته (Generalized Sequent Calculi)
• 89. سیستم‌های قیاسی (Tableau Systems)
• 90. سیستم‌های ردیفی (Resolution Systems)
• 91. منطق‌های چندارزشی (Many-valued Logics)
• 92. نظریه اثبات برای منطق‌های مودال (Modal Logics)
• 93. حذف برش برای منطق‌های مودال
• 94. مقدمه‌ای بر تحلیل ترتیبی (Ordinal Analysis)
• 95. ترتیبی‌های سازگار با اثبات (Proof-theoretic Ordinals)
• 96. کران‌های ترتیبی برای نظریه‌های مختلف
• 97. کاربردهای تحلیل ترتیبی در اثبات سازگاری
• 98. اثبات سازگاری برای نظریه‌های بزرگ‌تر از PA
• 99. نظریه اثبات و بنیادهای ریاضیات معاصر
• 100. محدودیت‌ها و چالش‌های نظریه اثبات