حساب دیفرانسیل و انتگرال چندمتغیره و سری‌ها: تبدیل مختصات در انتگرال دوگانه - کوییز

1. تبدیل مختصات دکارتی به قطبی
2. تبدیل مختصات قطبی به دکارتی
3. تبدیل مختصات استوانه ای
4. تبدیل مختصات کروی

گزینه صحیح: 1

توضیح: هنگامی که ناحیه انتگرال گیری یا تابع دارای تقارن دایره ای است، تبدیل مختصات دکارتی به قطبی (x = r cos theta, y = r sin theta) انتگرال را ساده می کند. عنصر مساحت $dA = dx dy$ به $r dr dtheta$ تبدیل می شود.

1. $r dr dtheta$
2. $dr dtheta$
3. $r^2 dr dtheta$
4. $frac{1}{r} dr dtheta$

گزینه صحیح: 1

توضیح: ژاکوبین تبدیل از مختصات دکارتی به قطبی برابر با $r$ است. بنابراین، عنصر مساحت $dx dy$ به $|J| dr dtheta$ که در اینجا $r dr dtheta$ می شود.

1. $int_0^{2pi} int_0^1 r^2 cdot r dr dtheta$
2. $int_0^{2pi} int_0^1 r dr dtheta$
3. $int_0^1 int_0^{2pi} r^2 dr dtheta$
4. $int_0^1 int_0^{2pi} r dr dtheta$

گزینه صحیح: 1

توضیح: در مختصات قطبی، $x^2 + y^2 = r^2$. ناحیه $R$ به $0 leq r leq 1$ و $0 leq theta leq 2pi$ تبدیل می شود. عنصر مساحت $dA$ به $r dr dtheta$ تبدیل می شود. پس انتگرال می شود $int_0^{2pi} int_0^1 r^2 cdot r dr dtheta$.

1. تبدیل مختصات قطبی
2. تبدیل مختصات دکارتی
3. تبدیل مختصات استوانه ای
4. تبدیل مختصات کروی

گزینه صحیح: 1

توضیح: مختصات قطبی به طور طبیعی برای توصیف نواحی دایره ای و نیمه دایره ای و توابع متقارن حول مبدأ طراحی شده است، زیرا $x^2 + y^2$ به $r^2$ تبدیل می شود.

1. $int_0^{2pi} int_0^2 e^{-r^2} r dr dtheta$
2. $int_0^2 int_0^{2pi} e^{-r^2} dr dtheta$
3. $int_0^{2pi} int_0^4 e^{-r^2} r dr dtheta$
4. $int_0^4 int_0^{2pi} e^{-r^2} r dr dtheta$

گزینه صحیح: 1

توضیح: ناحیه $R$ در مختصات قطبی $0 leq r leq 2$ و $0 leq theta leq 2pi$ است. تابع $e^{-(x^2+y^2)}$ به $e^{-r^2}$ تبدیل می شود و عنصر مساحت $dA$ به $r dr dtheta$. بنابراین انتگرال به صورت $int_0^{2pi} int_0^2 e^{-r^2} r dr dtheta$ در می آید.

1. برای تبدیل صحیح عنصر مساحت $dx dy$ به عنصر مساحت در مختصات جدید ($du dv$ یا $dr dtheta$).
2. برای تبدیل حدود انتگرال گیری.
3. برای ساده سازی تابع زیر انتگرال.
4. برای تعیین اینکه آیا انتگرال همگرا است یا خیر.

گزینه صحیح: 1

توضیح: ژاکوبین، نسبت تغییرات در حجم (یا مساحت در دو بعد) بین مختصات اصلی و جدید را نشان می دهد. بنابراین، برای اطمینان از اینکه مساحت ناحیه به درستی تغییر یافته است، باید از ژاکوبین استفاده کرد.

1. $u = x - y$, $v = x + y$
2. $u = x + y$, $v = x - y$
3. $u = x$, $v = y$
4. $u = r cos theta$, $v = r sin theta$

گزینه صحیح: 1

توضیح: با تعریف $u = x - y$ و $v = x + y$، حدود ناحیه به $u=0$, $u=2$, $v=0$, و $v=1$ تبدیل می شوند که یک مستطیل در صفحه $uv$ است.

1. ناحیه ای که توسط $a leq sqrt{x^2+y^2} leq b$ و زاویه بین $alpha$ و $beta$ توصیف می شود (ناحیه ای شبیه به قطاع حلقه).
2. ناحیه ای که توسط $a leq x leq b$ و $alpha leq y leq beta$ توصیف می شود.
3. ناحیه ای که توسط $a leq x leq b$ و $alpha leq theta leq beta$ توصیف می شود.
4. ناحیه ای که توسط $a leq r leq b$ و $alpha leq y leq beta$ توصیف می شود.

گزینه صحیح: 1

توضیح: حدود $r$ و $theta$ به طور مستقیم در مختصات قطبی ناحیه را تعریف می کنند. $r$ فاصله از مبدأ و $theta$ زاویه را مشخص می کند. این حدود یک قطاع از یک حلقه را توصیف می کنند.

1. $int_0^{2pi} int_1^2 frac{1}{r} r dr dtheta$
2. $int_1^2 int_0^{2pi} frac{1}{r} dr dtheta$
3. $int_0^{2pi} int_1^4 frac{1}{r} r dr dtheta$
4. $int_1^4 int_0^{2pi} frac{1}{r} dr dtheta$

گزینه صحیح: 1

توضیح: در مختصات قطبی، $sqrt{x^2+y^2} = r$. ناحیه $R$ به $1 leq r leq 2$ و $0 leq theta leq 2pi$ تبدیل می شود. عنصر مساحت $dA$ به $r dr dtheta$. بنابراین، انتگرال می شود $int_0^{2pi} int_1^2 frac{1}{r} cdot r dr dtheta$.