مقاله یکپارچه‌سازی نظریه تبدیل سیگنال

تبدیل فوریه گسسته (DFT)، تبدیل کسینوس گسسته (DCT)، تبدیل والش-هادامارد، موجک هار، تبدیل کارونن-لوو و چندین تبدیل دیگر به همراه همتایان پیوسته آن‌ها (تبدیل فوریه، سری فوریه، هارمونیک‌های کروی، تبدیل فوریه کسری) تحت یک اصل نظریه نمایش واحد، یکپارچه می‌شوند: هر کدام از این تبدیل‌ها، پایه‌ی ویژه‌ی هر کوواریانسی است که تحت یک گروه متناهی یا فشرده‌ی خاص ناوردا باشد، که ستون‌های آن از طریق قضیه‌ی پیتر-ویل از عناصر ماتریسی غیرقابل تقلیل گروه ساخته شده‌اند. این یکپارچه‌سازی بر پایه‌ی چارچوب تنوع جبری (AD) استوار است که گروه متناظر کوواریانس را به عنوان شیء بنیادی پردازش سیگنال مرتبه دوم شناسایی می‌کند. تبدیل KLT وابسته به داده به عنوان حد ناچیز گروه متناظر ظاهر می‌شود؛ تبدیل‌های کلاسیک به عنوان موارد دوری، دووجهی، آبلی مقدماتی، پیچشی تکراری و پیچشی ترکیبی پدیدار می‌گردند. قواعد ترکیب، حاصلضرب‌های مستقیم، پیچشی و نیمه‌مستقیم را پوشش می‌دهند. تبدیل‌های رید-مولر و حسابی به عنوان تبدیل‌های تغییر مبنای مرتبط بر روی گروه متناظر والش-هادامارد ظاهر می‌شوند. یک الگوریتم با زمان چندجمله‌ای برای کشف گروه متناظر، یعنی ریلکسیشن DAD-CAD که به عنوان یک مسئله‌ی ویژه‌مقدار تعمیم‌یافته در فرم دوگانه-جابجایی‌دهنده بیان می‌شود، حلقه‌ی عملیاتی را کامل می‌کند: گروه متناظر هر کوواریانس تجربی بدون قضاوت تخصصی کشف می‌شود، با انواع آگاه از نویز از طریق باقی‌مانده‌ی جابجایی $δ$ و شاخص رنگ‌آمیزی جبری $α$ برای تنظیمات نسبت سیگنال به نویز متناهی. تبدیل فوریه کسری به عنوان مورد $SO(2)$ متاپلکتیک با پایه‌ی متناظر هرمیت-گاوسی در نظر گرفته می‌شود، و یک اصل ساختاری، اندازه‌ی گروه متناظر را به طور معکوس با وضوح تبدیل مرتبط می‌سازد. کاربردهای مدرن (massive-MIMO، شبکه‌های عصبی گراف، توجه ترانسفورمر، ابرنقطه‌ای و بینایی سه‌بعدی، اتصال مغزی، ژنومیک تک‌سلولی، اطلاعات کوانتومی) به همراه گروه‌های متناظرشان ترسیم شده‌اند.

We unify the discrete Fourier transform (DFT), discrete cosine transform (DCT), Walsh-Hadamard, Haar wavelet, Karhunen-Loève transform, and several others along with their continuous counterparts (Fourier transform, Fourier series, spherical harmonics, fractional Fourier transform) under one representation-theoretic principle: each is the eigenbasis of every covariance invariant under a specific finite or compact group, with columns constructed from the irreducible matrix elements of the group via the Peter-Weyl theorem. The unification rests on the Algebraic Diversity (AD) framework, which identifies the matched group of a covariance as the foundational object of second-order signal processing. The data-dependent KLT emerges as the trivial-matched-group limit; classical transforms emerge as the cyclic, dihedral, elementary abelian, iterated wreath, and hybrid wreath cases. Composition rules cover direct, wreath, and semidirect products. The Reed-Muller and arithmetic transforms appear as related change-of-basis transforms on the matched group of Walsh-Hadamard. A polynomial-time algorithm for matched-group discovery, the DAD-CAD relaxation cast as a generalized eigenvalue problem in double-commutator form, closes the operational loop: the matched group of any empirical covariance is discovered without expert judgment, with noise-aware variants via the commutativity residual $δ$ and algebraic coloring index $α$ for finite-SNR settings. The fractional Fourier transform is treated as the metaplectic $SO(2)$ case with Hermite-Gauss matched basis, and a structural principle relates matched group size inversely to transform resolution. Modern applications (massive-MIMO, graph neural networks, transformer attention, point cloud and 3D vision, brain connectivity, single-cell genomics, quantum informatics) are sketched with their matched groups.