مقاله یکپارچه‌سازی نظریه تبدیل سیگنال

ما تبدیل فوریه گسسته (DFT)، تبدیل کسینوس گسسته (DCT)، والد-هادامارد، موجک هار، تبدیل کارونن-لو، و چندین تبدیل دیگر را به همراه همتایان پیوسته آن‌ها (تبدیل فوریه، سری فوریه، هارمونیک‌های کروی، تبدیل فوریه کسری) تحت یک اصل نظریه نمایش واحد، یکپارچه می‌کنیم: هر کدام از این تبدیل‌ها، پایه‌ی ویژه‌ی هر کوواریانسی هستند که تحت یک گروه متناهی یا فشرده‌ی خاص ناوردا باشد، و ستون‌های آن از عناصر ماتریسی غیرقابل تجزیه‌ی گروه از طریق قضیه‌ی پیتر-ویل ساخته شده‌اند. این یکپارچه‌سازی بر پایه‌ی چارچوب تنوع جبری (AD) استوار است که گروه متناظر کوواریانس را به عنوان شیء بنیادی پردازش سیگنال مرتبه‌ی دوم شناسایی می‌کند. تبدیل KLT وابسته به داده به عنوان حد بدیهی گروه متناظر ظاهر می‌شود؛ تبدیل‌های کلاسیک به عنوان موارد چرخه‌ای، دیهدرال، آبلی مقدماتی، پیچشی تکراری و پیچشی هیبریدی ظهور می‌کنند. قوانین ترکیب، حاصلضرب‌های مستقیم، پیچشی و نیمه‌مستقیم را پوشش می‌دهند. تبدیل‌های رید-مولر و حسابی به عنوان تبدیل‌های تغییر مبنای مرتبط بر روی گروه متناظر والد-هادامارد ظاهر می‌شوند. یک الگوریتم با زمان چندجمله‌ای برای کشف گروه متناظر، یعنی استرخای DAD-CAD که به عنوان یک مسئله‌ی ویژه‌ی مقدار تعمیم‌یافته در فرم دوگانه-جابجایی‌گر بیان می‌شود، حلقه‌ی عملیاتی را می‌بندد: گروه متناظر هر کوواریانس تجربی بدون قضاوت متخصص کشف می‌شود، با واریانت‌های آگاه از نویز از طریق باقیمانده‌ی جابجایی $δ$ و شاخص رنگ‌آمیزی جبری $α$ برای تنظیمات SNR متناهی. تبدیل فوریه کسری به عنوان مورد $SO(2)$ متاپلکتیک با پایه‌ی متناظر هرمیت-گاوس در نظر گرفته می‌شود، و یک اصل ساختاری اندازه‌ی گروه متناظر را به طور معکوس با وضوح تبدیل مرتبط می‌کند. کاربردهای مدرن (massive-MIMO، شبکه‌های عصبی گراف، توجه ترنسفورمر، ابر نقطه و بینایی سه‌بعدی، اتصال مغز، ژنومیک تک‌سلولی، انفورماتیک کوانتومی) به همراه گروه‌های متناظرشان ترسیم شده‌اند.

We unify the discrete Fourier transform (DFT), discrete cosine transform (DCT), Walsh-Hadamard, Haar wavelet, Karhunen-Loève transform, and several others along with their continuous counterparts (Fourier transform, Fourier series, spherical harmonics, fractional Fourier transform) under one representation-theoretic principle: each is the eigenbasis of every covariance invariant under a specific finite or compact group, with columns constructed from the irreducible matrix elements of the group via the Peter-Weyl theorem. The unification rests on the Algebraic Diversity (AD) framework, which identifies the matched group of a covariance as the foundational object of second-order signal processing. The data-dependent KLT emerges as the trivial-matched-group limit; classical transforms emerge as the cyclic, dihedral, elementary abelian, iterated wreath, and hybrid wreath cases. Composition rules cover direct, wreath, and semidirect products. The Reed-Muller and arithmetic transforms appear as related change-of-basis transforms on the matched group of Walsh-Hadamard. A polynomial-time algorithm for matched-group discovery, the DAD-CAD relaxation cast as a generalized eigenvalue problem in double-commutator form, closes the operational loop: the matched group of any empirical covariance is discovered without expert judgment, with noise-aware variants via the commutativity residual $δ$ and algebraic coloring index $α$ for finite-SNR settings. The fractional Fourier transform is treated as the metaplectic $SO(2)$ case with Hermite-Gauss matched basis, and a structural principle relates matched group size inversely to transform resolution. Modern applications (massive-MIMO, graph neural networks, transformer attention, point cloud and 3D vision, brain connectivity, single-cell genomics, quantum informatics) are sketched with their matched groups.